文藝復興，是數學精神的復興

　　佛羅倫薩主教堂

　　文藝復興人阿爾貝蒂

　　馬格里特《單人房間》

　　丟勒《憂郁》（1514）

　　16 3 2 135 10 11 89 6 7 124 15 14 1

　　　布魯內萊斯基的探索

　　文藝復興時期德國最重要的畫家丟勒（Albrecht Dürer，1471—1528）的木刻《為躺著的婦人作畫》，告訴我們畫家是如何作畫的。右邊是畫家本人，左邊是他的模特。畫家在中間放置了一塊玻璃屏板，上面描好方格子，同時他的畫布上也用鉛筆描好方格子。模特透過玻璃屏板，會有一個輪廓呈現。例如，鼻子在點A上，膝蓋在點B上，而肚臍又在點C上。畫家只需依樣畫葫蘆，便又輕松又準確地把人物描繪到平面上。

　　這就是透視原理（perspective principal），但它不是丟勒的首創和發現。丟勒出生于紐倫堡，小時候在作坊里學習繪畫，后來又拜名師學藝。從18歲開始，丟勒到處旅行，先是去尼德蘭和瑞士，后來兩次長期旅居意大利，既豐富了生活閱歷，又學到了包括意大利畫家的透視原理在內的繪畫技巧。事實上，早在丟勒出生前半個多世紀，意大利就有一位藝術家致力于透視法的探索和實踐。

　　大約在1413年，布魯內萊斯基（Filippo Bruneleschi，1377—1446）展示了后來的藝術家廣泛使用的透視技法的幾何原理。布魯內萊斯基出生在佛羅倫薩，他的父親是公證人，小時候他接受父母的安排，學習文學和數學，希冀子承父業，做一名公仆。后來他依照自己的意愿改行學做金匠和雕刻師，然而由于某種原因，在一次有把握獲勝的雕刻競賽中他沒有成功，一氣之下又改行從事建筑設計，那時候文藝復興運動已經開始了。

　　布魯內萊斯基最重要的作品是佛羅倫薩主教堂（1420—1436），迄今它仍是包括作者在內的各國游客的必到之地，也使得他成為文藝復興時期意大利最重要的建筑師。正是在他建筑生涯的初期，布魯內萊斯基重新發現了原本為希臘人所知曉后來卻在歐洲中世紀失傳的透視原理。據說他用兩塊描繪佛羅倫薩街道和建筑的油畫證明了他的發現，可惜這兩塊畫板現已遺失。

　　從布魯內萊斯基用來舉證的兩塊畫板上的油畫是街道和建筑這件事來看，他所重新發現的透視原理很可能是沒影點。所謂沒影點（vanishing point），是指三維空間里兩條平行的直線其延長線在視覺印象里相交于無窮遠點。舉例來說，鐵道線的兩條鐵軌向無限方向延伸時，在無窮遠處是相交的。這一現象并不是孤立的，又如茶杯的杯沿通常是圓形的，但看起來卻像是橢圓，無論我們站在近旁還是遠處。

　　可以說布魯內萊斯基創立了科學繪畫，他的學生和后輩中，烏切洛（Ucelo，1397—1475）、德拉·弗 朗 切 斯 卡（dela Francesca，1416—1492）、馬薩喬（Masacio，1401—1428）都對透視學作出了重要貢獻。馬薩喬是第一個運用老師引入的透視法的畫家，他的《納稅錢》比任何早期作品都更具有寫實主義氣息，同時表現出了距離感。16世紀的藝術史家瓦薩里（GiorgioVa-sari，1511—1574） 認為，馬薩喬是第一個達到完全真實地描繪事物的藝術家。

　　從流傳下來的作品來看，烏切洛并非最杰出的藝術家，他表現透視學方面的佳作隨著時間的流逝被嚴重毀壞，已經無法復原了，不過仍然顯示出景物的表面、線條和曲線的復雜性。他生前潛心于透視學這門“十分可愛的學問”之中，常常在妻子的催促下才上床睡覺。瓦薩里記載，“為了研究透視學中的沒影點，他曾經通宵達旦”。

　　德拉·弗朗切斯卡使得透視學變得成熟，他對幾何學抱有極大的熱情，每個位置都事先安排得非常精確，以保持與其他圖形的比例關系，同時使作品的整個部分一體化。他喜歡彎曲光滑的曲面和完整性，甚至對人物身體的每個部位及其服飾都運用了幾何形式。他的作品《耶穌復活》和《鞭笞》是透視學的兩幅佳作，同時也是藝術史上的珍品。

　　假如你有機會欣賞到古典油畫，畫中有家具或天花板的話，那一定是有平行線的。你將會發現，把每組相互平行的線各自朝一個方向延長，都會相交于同一點，那也正是vanish這個動詞的原意，即“消失”。

　　　阿爾貝蒂的無解之問

　　在布魯內萊斯基27歲那年，另一位杰出的意大利建筑師阿爾貝蒂（Leone Alberti，1404—1472）出生于熱那亞，比同城出生的航海家克里斯托弗·哥倫布早了將近半個世紀。阿爾貝蒂是佛羅倫薩一位銀行家的私生子，自小他就跟著父親學習數學，后曾在帕多瓦念書，再到博洛尼亞大學深造，獲得法學博士學位。之后，他隨一位紅衣主教游歷了法國、比利時和德國，1432年定居羅馬，擔任教皇的秘書。

　　阿爾貝蒂多才多藝，他曾用拉丁文創作喜劇，在他的文藝著作《論繪畫》中，首次引入了投影線和截景等概念，闡明了從三維物體到平面畫布的透視原理。阿爾貝蒂也是文藝復興時期最偉大的建筑理論家，著有十卷本的《論建筑》，此書用拉丁文寫成，他認為建筑必須實用、經濟、美觀，尤以前兩者為先決條件。在阿爾貝蒂看來，建筑物的美是客觀存在的，美就是和諧和完整。

　　阿爾貝蒂還從人文主義出發，用人體的比例來解釋古典柱式。他像哲學家一樣提出他的思考：“一個人只要想做，他就能做成任何事情。”“我希望畫家通曉全部自由藝術。但我首先希望他們精通幾何學。”“借助數學的工具幫助，自然界將顯得更為迷人。”不過，《論建筑》要等到阿爾貝蒂身后13年才得以出版。五個多世紀過去了，他留下的建筑仍有佛羅倫薩的魯奇拉府邸、新瑪利亞教堂，里米尼的圣弗朗西斯科教堂，曼圖亞的圣安德烈亞教堂等，其風格雄偉有力。

　　說一說阿爾貝蒂的建筑風格。在他之前，布魯內萊斯基繼承了古希臘的遺風，通過柱子或半柱奠定了古典建筑的風范，尤以佛羅倫薩主教堂和帕齊小教堂為代表。按照20世紀英國藝術史家貢布里希爵士的說法，阿爾貝蒂創造了一種個人私宅的建筑風格，其影響一直延續至今。他選擇了扁平的壁柱和檐部，像網絡一樣覆蓋在建筑的立面。這樣一來，在保留古典柱式的同時，又不改變建筑的結構，從而賦予城市邸宅以現代的形式。

　　說到《論建筑》，公元前1世紀的羅馬建筑師馬可·維特魯威（Marcus Vitruvius）也寫過十卷本的《建筑學》，書中記載了古希臘數學家阿基米德測定希羅王金王冠真假的故事。阿基米德在洗澡時發現浮力定律，同時也揭示了王冠的真假之謎。1487年前后，達·芬奇也曾畫過一幅著名的素描《維特魯威人》，那是素描的教科書中不可或缺的。畫家依據《建筑學》中的描述，努力繪出最完美比例的男子人體。

　　阿爾貝蒂曾宣稱，一幅畫就是投射線的一個截景。他畫過這樣一幅素描，右邊是（畫家的）眼睛，左邊是要畫一個景物，猶如杭州西湖三潭印月的三座石塔（相傳是北宋大詩人蘇東坡疏浚西湖時的創意，現有的石塔系明代重建）。畫家在他和景物之間放置了一塊畫好方格子的玻璃屏板，然后模仿景物在玻璃屏板上的投影或輪廓，在同樣畫有方格子的畫布上描繪下來。

　　很明顯，這種利用截景的透視方法在阿爾貝蒂時代已經很流行了。難得的是，阿爾貝蒂從中提出了這樣一個數學問題，假如把玻璃屏板平行移動，那么得到的截景或輪廓與原先的十分相似，他問：兩者之間的數學關系是什么？這個問題比起歐幾里得幾何學中相似三角形的關系來，可是要復雜和困難許多，難怪那個時代全歐洲的藝術家和數學家都回答不出來。

　　　　藝術史成為藝術家的歷史

　　文藝復興時期的畫家們之所以對數學有如此廣泛的興趣，原因應該是多方面的。首先，繪畫的問題是把三維空間的人物或客觀事物表現在二維的平面上，無論如何這都與幾何學有關。藝術家要創作逼真的作品，除了顏色、形態和意圖，他或她面對的對象本身是有一定空間的幾何形體。具體來說，畫家要考慮理想的比例，描繪它們位于空間中的位置的相互關系，這就需要用到歐氏幾何。

　　其次，文藝復興時期的畫家們都受到了希臘哲學的影響，他們熟悉并滿腦子充斥了這樣的信念：萬物皆數。數學是真實的現實世界的本質，宇宙是有秩序的，并能按照幾何方式明確地理性化，終極真理的表達方式就是數學的形式。因此，藝術家像希臘哲學家一樣，認為要透過現象認識本質，需要在畫布上真實地展示題材的現實性，他們最后面臨和解決的問題必定歸結為一定的數學內容。

　　再次，中世紀晚期和文藝復興時期的藝術家，往往也是那個時代的建筑師和工程師，因此必然需要和愛好數學。那時候的商人、王侯和教會紛紛把建筑問題交給藝術家，讓他們設計建造教堂、修道院、皇宮、醫院、橋梁、水閘、堡壘、運河、城墻、戰爭器械，等等。在達·芬奇的筆記本里，可以找到大量的諸如此類的設計圖紙。因此，文藝復興時期的藝術家既是博學的純粹數學家，也是優秀的應用數學家。

　　值得一提的是，“文藝復興”的意大利文Ri-nascimento是由ri（重新）和nascere（出生）構成的，意為

　　“再生”“復活”。經過漫長的中世紀黑暗時代之后，意大利各個城邦崛起，市民和世俗知識分子（非經院哲學的教士）越來越厭惡天主教的神權和禁欲主義，可是由于本身沒有成熟的文化體系可以抗衡，于是借助復興古希臘和古羅馬的文化形式來表達自己的訴求。它不僅僅是古典的復興，還是資產階級的新文化運動。在這場主要由藝術來呈現的復興運動中，數學起到了非常重要的作用，以至于克萊因稱文藝復興是“數學精神的復興”。

　　然而，終要有特殊的數學問題作為中介，讓那些有天賦的藝術家們進行探討和研究，發揮他們的才智。這個問題非透視莫屬，即如何在二維的畫布上展現現實世界中的三維景物？為此，經過幾代藝術家的共同努力，他們創建了一整套全新的數學透視理論體系，從而建立起一種嶄新的繪畫風格，并把古典繪畫帶到一個新的難以企及的高度。

　　　在西方繪畫史上，各種透視體

　　系大致可以分成兩大類，即概念體系和光學體系。光學體系即前文闡釋的透視原理和沒影點理論，而概念體系是指按照某種觀念或法則去描繪人物或物體，與實際的景物本身幾乎沒有什么關系。例如，古埃及的繪畫，人物的大小經常依據他們在政治或宗教階層中的地位而定。在這些作品中，法老的尺寸是最大的，其次是他的妻子，大臣就更小了，但仍比仆人要大。

　　在東方，例如中國畫和日本畫，也基本上是遵從概念體系進行創作的，也即沒有引入透視的原理或數學的方法。而在現代繪畫作品中，概念體系也經常出現，有的甚至成為表達的方式。超現實主義畫家馬格里特認為：一個事物恰恰是為它經常出現的樣子所遮蔽。他采取的方法之一是：改變對象的尺度、位置或質地，創造出一種不協調。

　　雖說古希臘和古羅馬的繪畫主要遵從光學體系。但是，天主教的神秘主義卻使得藝術家又回到了概念透視體系，因為他們滿足于描繪象征性的內容。換句話說，他們的繪畫主題和背景傾向于表現宗教題材。因此，繪畫表現的是宗教情感，而不是現實生活中的人和世界。這種風格在中世紀十分流行，持續了1000多年。特點是畫面呆板生硬、毫無生氣，背景通常總是金黃色的，為了強調宗教主題而與現實世界沒有關聯，更談不上有任何空間關系。

　　文藝復興的典型特點是，藝術家們朝向寫實主義方向前進，在這個過程中數學開始進入藝術領域，引入了第三維，這只能通過光學系統的表達才能實現。從此以后，藝術家們就可以在繪畫中處理空間、體積、距離、質量等的視覺印象。與此同時，現實中活脫脫的人成為宗教題材的主題，按照實際構圖的畫面富有生機。終于在13世紀，近代繪畫之父喬托在意大利誕生。“從此以后，藝術史就成了藝術家的歷史。”

　　丟勒的“幻方”

　　在達·芬奇之后，意大利的其他畫家和建筑師也對數學有著濃郁的興趣，在這些后輩藝術家中，將數學與藝術結合得最為出色的當數前文已提及的德國畫家丟勒。

　　丟勒的故鄉紐倫堡在德國的巴伐利亞，他的父親是個成功的首飾匠，出生在匈牙利東南靠近羅馬尼亞邊境的久洛（Gyula）附近，28歲那年移居紐倫堡。丟勒的姓氏Ajtos原本對應于德語里的Tur er，而按照紐倫堡人的發音習慣，才改為Durer。起初，家人也想把他培養成家族的繼承人，但他在作坊里學會了繪畫，并在13歲時照著鏡子逼真地畫出自己的肖像畫。

　　丟勒請求父親讓自己學作畫，結果父親答應了，他的一個兄弟繼承了家業。父親送丟勒進了當地一家畫室，三年學徒期間，他學到了各種繪畫技巧，尤其是木刻插圖和銅板技巧，之前他的同胞谷登堡發明了活字印刷。出師以后，丟勒走出畫室，漫游了四年，沿著萊茵河到達法蘭克福、科隆和巴塞爾，并遠至尼德蘭（荷蘭）。23歲那年，他與故鄉的一位音樂家的女兒阿格列薩結了婚，那年他曾為新娘畫過一幅素描。

　　丟勒第一件偉大的作品是《啟示錄》，這是由14幅版畫組成的杰作。《啟示錄》是《圣經》里最后一篇充滿恐怖奇想的經文，告誡信徒若不篤信基督，將會遭受懲罰。其中最有代表性的一幅是《四騎士》，騎士們或拉弓射箭或舉劍揮砍，舉起的空天平象征饑餓，而枯瘦的老人代表死亡，胯下的戰馬正無情地踐踏倒下的人群。這是當時德國真實生活的反映，正是在這種歷史氣候下，16世紀初馬丁·路德開始了宗教改革。

　　之后又有12年時間，丟勒攜家僑居國外，期間兩次在意大利長住。從意大利畫家那里，他學到了透視法并進行了一番研究，畫出了多幅木刻來說明如何利用截景繪畫。除了上一節介紹的《為躺著的婦人作畫》，還有《為坐著的男子作畫》，以及《畫罐》《畫琵琶》等。后來，他把意大利人的發明帶回到德國，使之流行于歐洲的北方。

　　為此，丟勒寫作了一本廣為流傳的小冊子《直尺圓規測量法》。這本書是關于幾何學的，但也談到了透視法。他認為，創作一幅畫的透視基礎不是信手涂畫，而應該依據數學原理構圖。在丟勒的影響下，18世紀初的英國數學家泰勒（以發明泰勒公式和泰勒級數聞名）、法國數學家蘭伯特（證明圓周率是無理數）都撰寫過透視學的權威著作。

　　1505年，丟勒再次來到意大利，這次他不僅為了學習取經，也為了他的作品被人抄襲討個公道。74歲高齡的威尼斯畫派領袖貝里尼（提香的老師）接見了他，詢問比自己年輕40歲的德國才俊能否給一支他用過的畫筆。在那個年代藝術家還帶有手工特技和師徒傳藝的風俗，畫家自制的繪畫工具和材料常常帶有保密的性質，就像達·芬奇用左手反寫“反字”的筆記本一樣。

　　原來，貝里尼（Giovanni Beli ni，1430—1516）見到丟勒畫的人物須發特別纖細流暢，故而認為他一定有特殊的畫筆。沒想到丟勒拿出一大把很普通的畫筆，讓老畫家隨意挑，并當場畫出“一縷柔軟纖細波浪式的女性秀發”。事實上，丟勒本人的自畫像里也有卷曲優雅的頭發。目睹此情此景，貝里尼大為贊嘆，出高價購買丟勒的畫作，這等于幫丟勒做了很大的宣傳廣告。

　　丟勒可能是文藝復興時期所有藝術家中數學造詣最深的人。在《直尺圓規測量法》一書中，他談到了空間曲線及其在平面上的投影，還介紹了外擺線，即一個圓滾動時圓周上一點的軌跡。更有甚者，丟勒考慮到了曲線或人影在兩個或三個相互垂直的平面上的正交投影，這個想法極其前衛，直到18世紀才由法國數學家蒙日發展出一門數學分支，叫畫法幾何，蒙日并以此在數學史上奠定地位。

　　1514年5月17日，丟勒深愛的母親病故，他陷入一種悲哀。當年晚些時候，丟勒創作了銅版畫《憂郁》寄托哀思，畫面前方有個左手扶額作沉思狀的坐著的青年女子，背景里有球、多面體等幾何圖形和一束光芒，右邊房屋的窗子實為一個四階幻方，即各行、各列和兩條對角線元素之和均為34。

　　事實上，此幻方九個二階小矩形中，有五個（四個角和中央）的元素之和也為34；還有四個頂點和任意三階矩形或任意斜矩形的頂點之和也為34。幻方的出現無疑加重了畫面的抑郁氣氛和神秘感，也幫助它成為一幅世界名畫。更有意思的是，幻方的最后一行中間兩個數恰好組成了畫作的完成年份，即1514（還有研究者發現5和17在其中的隱秘關系）。由此可見，丟勒對如何構筑幻方已經游刃有余。

　　雖說在中國，13世紀的南宋數學家楊輝的幻方更早出現，印度克久拉霍（Khajrāho，10—11世紀月亮王朝的故都）耆那教寺廟墻上的幻方更為完美，但因為丟勒同時也是著名的畫家，所以他的幻方最為著名。丟勒以其觀察的精微和構思的復雜，將其豐富的思維與熱烈的理想結合在一起，產生了一種獨特的效果。晚年的丟勒致力于藝術理論和科學著作的寫作，包括繪畫技巧、人體比例和建筑工程，并且他親自為這些書制作插圖。

　　丟勒在書中寫道：“出自一切作品的東西，要數漂亮的人體最能使我們感到愉快，所以我就從人體比例寫起。”他還曾經這樣說過：“求知，以及通過求知去理解一切事物的本質，這是一種天賦……而真正的藝術，是包含在自然之中的，誰能發掘它，誰就掌握它。”

　　（本文摘自《數學與藝術》，蔡天新著，江蘇人民出版社 江蘇鳳凰美術出版社2021年6月第一版，定價：58.00元）